Kongruencja.html

Ten artykuł dotyczy kongruencji w matematyce. Zobacz też: związek zgody.

Kongruencja to relacja określona w zbiorze liczb całkowitych. Kongruencja modulo $n$ nazywana jest też przystawaniem liczb "modulo $n$ ".

Liczby całkowite $a$ i $b$ przystają modulo $n$ (pozostają w kongruencji modulo n), co zapisuje się: $a \equiv b \pmod n$ , jeżeli ich różnica $a - b$ dzieli się bez reszty przez $n$ . Równoważnie: jeśli liczby $a$ i $b$ dają w dzieleniu przez $n$ tę samą resztę.

Spis treści

1 Przykład
2 Własności kongruencji
3 Cechy podzielności przez 9 i 11
- 3.1 Lemat
  - 3.1.1 Dowód lematu
- 3.2 Dowód podzielności
  - 3.2.1 Podzielność przez 9
  - 3.2.2 Podzielność przez 11
4 Zobacz też

edytuj Przykład

Liczby $5$ i $11$ przystają modulo $3$ :

$11 \equiv 5 \pmod 3$ ,

ponieważ ich różnica, czyli $6$ , dzieli się bez reszty przez $3$ . Równoważnie, w dzieleniu z resztą obu liczb przez $3$ otrzymujemy tę samą resztę $2$ :

11:3 = 3 reszty 2

5:3 = 1 reszty 2

edytuj Własności kongruencji

edytuj Relacje

zwrotność:

$\forall_{a \in \mathbb Z}\; a \equiv a \pmod n$ ,

symetryczność:

$\forall_{a, b \in \mathbb Z}\; a \equiv b \pmod n \Rightarrow b \equiv a \pmod n$ ,

przechodniość:

$\forall_{a, b, c \in \mathbb Z}\; a \equiv b \pmod n \and b \equiv c \pmod n \Rightarrow a \equiv c \pmod n$ .

Kongruencja jest zatem relacją równoważności.

edytuj Arytmetyka

kongruencja sumy:

$a \equiv p \pmod n \and b \equiv q \pmod n \Rightarrow (a+b) \equiv (p+q) \pmod n$ ,

kongruencja iloczynu:

$a \equiv p \pmod n \and b \equiv q \pmod n \Rightarrow (a \cdot b) \equiv (p \cdot q) \pmod n$ .

Powyższe dwie własności są podstawą m.in. obliczeń kontrolnych w rachunkach pisemnych, np. "reguły dziewiątek".

Przekonujemy się również, że:

$a\equiv b \pmod n \Rightarrow a\pm c\equiv b\pm c \pmod n$ , gdyż $a - b = (a + c) - (b + c) = (a - c) - (b - c)$ ,
$a\equiv b \pmod n \Rightarrow ac\equiv bc \pmod n$ , gdyż $m| a-b \Rightarrow m| c(a-b) = (ac - bc)$ .

edytuj Algebra

Kongruencje o tym samym module można dodawać, odejmować lub mnożyć stronami. Można przenosić wyrazy z jednej strony kongruencji na drugą, zmieniając ich znaki. Obie strony kongruencji można podnosić do tej samej potęgi (o naturalnym wykładniku). Jednak nie wolno dzielić stronami kongruencji, ani też dzielić obu stron kongruencji przez ten sam wspólny dzielnik!

Kongruencje można też określać w dowolnych pierścieniach.

edytuj Cechy podzielności przez 9 i 11

Za pomocą kongruencji łatwo jest wskazać cechy podzielności przez liczby 9 i 11:

edytuj Lemat

Jeżeli $w (x)$ jest wielomianem całkowitym względem $x$ o współczynnikach całkowitych, to kongruencja $a\equiv b \pmod m$ pociąga za sobą $w(a)\equiv w(b) \pmod m$ .

edytuj Dowód lematu

Niech $A_{0} x^{n} + A_{1} x^{n-1} + A_{2} x^{n-2} + \ldots + A_{n-1} x + A_{n}\quad$ będzie wielomianem całkowitym $n$ -tego stopnia o współczynnikach całkowitych (wielomian ten oznaczamy krótko przez $w (x)$ ), $m$ będzie danym modułem, zaś $a$ i $b$ liczbami całkowitymi przystającymi według modułu $m$ . Zapiszemy ciąg kongruencji następująco:

$A_{0} a^{n}\equiv A_{0} b^{n} \pmod m$ ,

$A_{1} a^{n-1}\equiv A_{1} b^{n-1}\pmod m$ ,

$A_{n-1} a \equiv A_{n-1} b \pmod m$ ,

$A_{n}\equiv A_n \pmod m$ .

Dodajemy stronami,

$A_{0} a^{n} + A_{1} a^{n-1} +... + A_{n-1} a + A_{n}\equiv A_{0} b^{n} + A_{1} b^{n-1} +... + A_{n-1} b + A_{n} \pmod m$ , czyli

$w(a)\equiv w(b) \pmod m$ .

edytuj Dowód podzielności

Niech $N \in \mathbb N$ , a $C_1,C_2,C_3,... ,C_n\quad$ jej kolejnymi cyframi w układzie dziesiętnym. Oczywiście

$N= C_{1}10^{n-1} + C_{2}10^{n-2} + \ldots + C_{n-1}10 +C_{n}\quad$ .

Niech

$\quad w (x)= C_{1} x^{n-1} + C_{2} x^{n-2} + \ldots + C_{n-1} x + C_n\quad$

$\quad w(10)=N.\quad$ .

edytuj Podzielność przez 9

Z lematu i wobec kongruencji $10\equiv1 \pmod 9\quad$ mamy

$\quad w(1)= C_1 + C_2 + \ldots + C_{n-1} + C_n\quad$ , zatem

$N\equiv C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_{n-1} + C_n \pmod 9$ ,

co dowodzi, że każda liczba naturalna przystaje według modułu $9$ do sumy swoich cyfr. Dla podzielności liczby $N$ przez $9$ wystarcza, by suma jej cyfr była podzielna przez $9$ .

edytuj Podzielność przez 11

Wobec lematu oraz kongruencji $10\equiv -1 \pmod {11}$ , mamy

$w(10)\equiv w(-1) \pmod {11}$ ,

czyli

$N \equiv C_1 - C_2 + C_3 - C_4 + ... \pmod {11}$ .

Co oznacza podzielność przez $11$ : liczba jest podzielna przez 11, jeśli po odjęciu sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych od sumy cyfr stojących na miejscach parzystych otrzymamy liczbę podzielną przez 11.