Liczby p-adyczne.html

Liczby p-adyczne (gdzie $p$ jest liczbą pierwszą) - alternatywne wobec liczb rzeczywistych uzupełnienie ciała liczb wymiernych za pomocą konstrukcji ciągów Cauchy'ego.

Jedna z konstrukcji liczb rzeczywistych jest wykonywana przez zinterpretowanie liczby rzeczywistej jako zbioru wszystkich ciągów liczb wymiernych które zbiegają do tej samej granicy. Ściślej w zbiorze ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych wprowadzamy relację równoważności $\sim$ :

$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \sim (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \iff \bigwedge_{\mathbb{Q}\ni\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{n>n_0}|a_n-b_n|<\varepsilon$ .

Liczby rzeczywiste to klasy abstrakcji tej relacji.

W definicji tej występuje wartość bezwzględna. Można ją zastąpić przez następującą normę p-adyczną:

| 0 | = 0

$|r|=p^{-w_p(r)}$

gdzie $w p (r)$ to wykładnik przy liczbie $p$ w rozkładzie liczby wymiernej r na czynniki pierwsze:

$r=\sgn(r)\cdot 2^{w_2(r)}\cdot 3^{w_3(r)}\cdot 5^{w_5(r)}\cdot 7^{w_7(r)}\cdot \dots$

Liczby p-adyczne tworzą ciało będące rozszerzeniem ciała liczb wymiernych. Ciała liczb p-adycznych dla różnych $p$ nie są izomorficzne. Każdą liczbę p-adyczną można jednoznacznie zapisać w postaci sumy szeregu:

$\alpha=\displaystyle\sum_{n=k}^{\infty}s_n p^n$

gdzie $k$ jest liczbą całkowitą i $w p (α) = k$ , a współczynniki $s n$ są resztami z dzielenia przez $p$ , tzn. $s_n\in\{0,1,\ldots,p-1\}$ . Liczby p-adyczne dodaje się i mnoży jak szeregi, z przeniesieniem do następnego "rzędu" gdy pojawia się współczynnik większy od $p - 1$ . Ciągiem $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ reprezentującym $α$ jest ciąg sum częściowych tego szeregu. Z tak określonym dodawaniem i mnożeniem liczby p-adyczne tworzą ciało. Zwykłe liczby wymierne, to te liczby p-adyczne, których rozwinięcie w szereg jest okresowe od pewnego miejsca (np. skończone).

Norma p-adyczna przedłuża się na ciało liczb p-adycznych:

$w_p (\displaystyle\sum_{n=k}^\infty s_n p^n)=k$ gdy $s_k\neq 0$ .

Metryka $\rho (x,y) = p^{-w_p(x-y)}$ dla normy p-adycznej jest zupełną ultrametryką, np. szereg liczb p-adycznych $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \alpha _n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n =0$ .

Szczególnym przypadkiem liczb p-adycznych są liczby p-adyczne całkowite. Przy przedstawieniu w postaci sumy szeregu liczby p-adyczne całkowite to te, które mają nieujemny początek sumowania $k$ , tzn. te liczby p-adyczne $α$ , dla których $w_p(\alpha)\geq 0$ . Liczby całkowite p-adyczne tworzą pierścień lokalny.

Topologicznie, liczby rzeczywiste identyfikuje się z punktami prostej, a liczby zespolone - z punktami płaszczyzny. Ciało liczb p-adycznych topologicznie jest zbiorem Cantora bez jednego punktu końcowego, a pierścień liczb p-adycznych całkowitych - zbiorem Cantora.

Liczby p-adyczne są bardzo ważne w teorii liczb, gdzie pomagają rozwiązywać równania diofantyczne i klasyfikować formy kwadratowe nad ciałem liczb wymiernych (zasada lokalno-globalna Minkowskiego-Hasse). Dowód hipotezy Weila o wymierności $ζ$ -funkcji rozmaitości algebraicznych nad ciałami skończonymi, podany przez B. Dworka^[1] w 1960, wykorzystywał analizę p-adyczną (funkcje p-adyczne, ich pochodne i całki).

Liczby p-adyczne odkrył w latach 20. XX w. Kurt Hensel.

edytuj Bibliografia

Władysław Narkiewicz: Teoria liczb. PWN, 1977.
Neil Koblitz: p-Adic Numbers, p-Adic Analysis, and Zeta-Functions. Springer, 1977.

Przypisy

↑ Bernard Dwork: On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. Amer. J. Math. 82, 1960.

Liczby p-adyczne.html

edytuj Bibliografia

Przypisy

edytuj Zobacz też